疾病假阳性的概率计算

已知：

1. HIV 携带者，检出阳性概率为 99.9%
2. 非 HIV 携带者，检出阴性概率为 99.99%
3. 一般人群中 HIV 携带者比例为 0.01%

请问：任一人检出阳性，其携带 HIV 的概率是多少？

本题问的是检出阳性的前提下，是携带者的概率，这是条件概率，需要用到贝叶斯定理：

$$P(A|B) = { {P(B|A) \cdot P(A)} \over {P(B)} } \quad \quad \scriptsize\text{P(A|B) 表示 B 发生的情况下 A 发生的概率}$$

另还需要知道以下概率公式：

$$\begin{aligned} P(B|A) & = P(AB) / P(A) \\ P(A|B) & = P(AB) / P(B) \\ P(AB) & = P(B|A) \cdot P(A) \\ & = P(A|B) \cdot P(B) \end{aligned}$$

则可以推导出：

$$\begin{aligned} P(B) & = P(B) \cdot 1 \\ & = P(B) \cdot [P(A) + P(\bar{A})] \\ & = P(B) \cdot P(A) + P(B) \cdot P(\bar{A}) \\ & = P(AB) + P(\bar{A}B) \\ & = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\bar{A}) \cdot P(\bar{A}) \end{aligned} \tag 1$$

有了这个公式就可以解题啦！

设 $A$ 为事件携带 HIV，$B$ 为事件检出结果呈阳性。

据条件 1 知，$P(B|A) = 99.9\%$，即真阳性。

据条件 2 知，$P(B|\bar{A}) = 0.01\%$，即假阳性。

据条件 3 知，$P(A) = 0.01\%$。

本题需要计算的其实是 $P(A|B)$，将推导得到的公式(1)带入贝叶斯定理，解得

$$\begin{aligned} P(A|B) & = { {P(B|A) \cdot P(A)} \over {P(B)} } \\[2ex] & = { {P(B|A) \cdot P(A)} \over {P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\bar{A}) \cdot P(\bar{A})} } \\[2ex] & = 49.9774876\% \end{aligned}$$

【结论】对于罕见病而言，检测手段再高，假阳的概率也比直觉上高得多。