从矩形中切掉正方形的有限性

【结论1】如果矩形的边长比是黄金分割比，那么可以一直从中切掉正方形。

该结论很容易证明：设矩形的边长分别为 $a$ 和 $b$（$a>b$）。由于边长比为黄金分割比，则有

$$\frac{a-b}{b}=\frac{b}{a}$$

而 $a-b$ 与 $b$ 正好就是原矩形切掉 $b\times b$ 正方形后余下矩形的边长，故可知余下的矩形与原矩形相似。因而，可类似地继续从余下的矩形中切掉正方形，继而该操作可无限进行下去。

反过来，下面的结论是不是也正确呢？

【结论2】如果矩形的边长比是某对整数 $p$ 和 $q$ 的比值 $\frac{p}{q}$，则不能无限地从中切掉正方形。

证明：

索性设矩形的边长即为 $p$ 和 $q$，则该矩形可分为 $p\times q$ 个单位正方形。

$\because$ 每次切掉的正方形均为单位正方形的整数倍

$\therefore$ 切掉正方形的操作不可能无限进行下去

【扩展思考】至多可切割几次？
共 $p\times q$ 个单位正方形，每次至少切掉 1 个单位正方形。因此，至多可切割 $p\times q-1$ 次，将矩形切割成 $p\times q$ 个单位正方形。
并且显然，当且仅当 $p=1\text{ 或 }q=1$ 时可达到最大切割次数。