（科赫）雪花曲线及反雪花曲线的周长和面积推导

雪花曲线

图中(1)→(2)→(3)是雪花曲线的演化……

雪花曲线周长极限是多少？

每次演化，1/3 条边就变换成了两个 1/3 条边的角。因此，第n个雪花图形的周长是：

$$\begin{array}{rl}& L_n=\frac{4}{3}{L}_{n-1}=(\frac{4}{3}{)}^{n-1}{L}_1\\ & \end{array}$$

它的极限是：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{L}_n=\mathrm{\infty }$$

雪花曲线面积极限是多少？

$$\overline{\begin{array}{crrr}& \text{边长}& \text{个数}& \text{面积}\\ S_0& L_0& 1& S_0\\ S_1& (\frac{1}{3}{)}^1{L}_0& 3& (\frac{1}{9}{)}^1{S}_0\\ S_2& (\frac{1}{3}{)}^2{L}_0& 3\times 4& (\frac{1}{9}{)}^2{S}_0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ S_n& (\frac{1}{3}{)}^n{L}_0& 3\times 4^{n-1}& (\frac{1}{9}{)}^n{S}_0\end{array}}$$

上表中，各列分别指的是每次演化，凸出的三角形的边长、个数和单个的面积。

因此，累加每行个数×面积即为 $S_n$ 的面积：

$$S_n=S_0[1+3\times \frac{1}{9}+3\times 4\times (\frac{1}{9}{)}^2+\cdots +3\times 4^{n-1}\times (\frac{1}{9}{)}^n]$$

整理下 $3\times \frac{1}{9},\cdots ,3\times 4^{n-1}\times (\frac{1}{9}{)}^n$ 则会发现这是个通项为 $\frac{1}{3}\times (\frac{4}{9}{)}^{n-1}$ 等比数列，根据等比数列前n项各公式可得：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& & \frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times \frac{4}{9}+\cdots +\frac{1}{3}\times (\frac{4}{9}{)}^{n-1}\text{(2)}& =& \frac{1}{3}\left[\frac{1-(\frac{4}{9}{)}^{n-1}}{1-\frac{4}{9}}\right]\text{(3)}& =& \frac{3}{5}\times [1-(\frac{4}{9}{)}^{n-1}]\end{array}$$

代入 $S_n$ 等式右侧可得：

$$S_n=S_0\{1+\frac{3}{5}[1-(\frac{4}{9}{)}^{n-1}]\}$$

求极限可得：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\frac{8}{5}{S}_0$$

因此，雪花曲线的极限面积是初始面积的 $\frac{8}{5}$。

反雪花曲线

图中(1)→(4)→(5)是反雪花曲线的演化……

反雪花曲线周长极限是多少？

虽然，反雪花曲线是“向内”演化的，但是它的周长增长情况与雪花曲线是完全相同的。也就是说，周长的极限也是 $\mathrm{\infty }$。

【反直觉】
是的，这是反直觉的。一个封闭范围内的图形，周长是无限的。

反雪花曲线面积极限是多少？

反雪花曲线与雪花曲线的面积情况正好相反，不是增加面积，反而是减少相同的面积，因此：

$$S_n=S_0\{1-\frac{3}{5}[1-(\frac{4}{9}{)}^{n-1}]\}$$

所以，反雪花曲线面积的极限是初始面积的 $\frac{2}{5}$。

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\frac{2}{5}{S}_0$$