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Markdown笔记·公式篇

发表于 更新于 分类于

插入公式

Markdown 插入的数学公式有两种：行内公式和独立公式。

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$行内公式$
$$独立公式$$

特殊符号

注释

行注释使用 % 开头，直到行结束都是注释内容，不会渲染显示。

换行（\\）应置于注释（%）之前。

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$$
\begin{align}
line1 \\ % 这是注释，不会显示
line2
\end{align}
$$

括号

()、[]、| 都可以表示符号本身，但是 {} 有特殊含义，即将其内容当成一个整体看待。如果要表示花括号需要要转义，即使用 \{\} 表示。

更多括号符号详见【附录·括号】章节。

空格

公式中键入的普通空格会被忽略，如果真的需要显示间隔，可以使用 \,、\;、\quad、\qquad，它们将显示为从小到大的间隔。甚至可以使用 \text{n个空格} 实现任意空格间隔。

另外，\! 是一种负向间隔，它可以缩减字符间距（常用于物理单位中），重复使用可以叠加不同的字符。

符号汇总：\!、\,、\;、\quad、\qquad、\text{n个空格}

更多空格命令可参考 MathJax 相关说明。

省略号

普通公式中常见有两种省略号：与文本底线对齐的省略号用 \ldots，与文本中线对齐的省略号用 \cdots。

在矩阵中，省略号样式更为丰富，有水平（\cdots）、垂直（\vdots）甚至倾斜（\ddots）显示的。

位置相关

上下标

符号 作用 示例代码 示例显示
^ 上标 $2^n$ $2^n$
_ 下标 $A_0$ $A_0$
  • 上下标不止一个字符

使用花括号将上下标整体括起来，如：

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$T_n = 2T_{n-1} + 1 = 2(2^{n-1} - 1) + 1 = 2^n - 1$
  • 左右都有上下标

使用 \sideset 命令，如：$\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes$

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$\sideset{^1_2}{^3_4}\bigotimes$

顶底部字符

想把一串字符放在另一串字符上方或下方，需要使用：\overset{顶部内容}{常规内容} 和 \underset{底部内容}{常规内容}。

分数

命令 格式 示例代码 示例显示
\frac \frac {分子} {分母} $\frac {a + 1} {b + 1}$ $\frac {a + 1} {b + 1}$
\over {分子} \over {分母} $\frac {a - 1} {b - 1}$ $\frac {a - 1} {b - 1}$
  • 连分数

使用 \cfrac 命令：

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$$
x = a_0 + \cfrac{1^2}{a_1 
		+ \cfrac{2^2}{a_2 
		+ \cfrac{3^2}{a_3 
		+ \cfrac{4^4}{a_4 
		+ \cdots}}}}
$$

注意：不要使用 \frac 或 \over 来创建连分数，否则会逐级缩小显示。

开方

开方语法为：\sqrt [根指数，默认为2] {被开方数}。

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$$ \sqrt {2} \quad and \quad \sqrt[n]{5}$$

累加/乘

命令 作用 格式
\sum 累加 \sum_{下标}^{上标} {累加表达式}
\prod 累乘 \prod_{下标}^{上标} {累乘表达式} 
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$$S = \sum_{k = 0}^n {p^k} = 1 + p + p^2 + ... + p^n$$
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$$S = \prod_{k=0}^{m} \frac {1 - p_k^{a_{k+1}}} {1-p_k}$$

极限

语法为：\lim_{变量 \to 表达式} 表达式。\to 可改为其他任意符号。

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$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(n+1)}$$

积分

语法为：\int_积分下限^积分上限 {被积表达式}。

更多积分符号见附录。

矢量

语法为：\vec{矢量}。也可以使用位于字符上方的箭头命令：\overleftarrow 和 \overrightarrow。

更多详见【附录·环绕符号】章节。

对齐

默认居中对齐

默认情况下，公式是居中对齐的。在多行公式中，居中对齐会显得参差不齐。

常见的场景是，期望“连等式”每行开头的等号对齐。这时需要使用 \begin{align} 和 \end{align} 包裹公式，并用 & 标识要对齐的位置。

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$$
\begin{align}
L_n & = L_{n-1} + n  \\
    & = L_{n-2} + (n - 1) + n \\
    & = \cdots \\
    & = L_0 + 1 + 2 + \cdots + (n-1) + n \\
    & = 1 + { {n(n+1)} \over {2} } \\ 
    & = 1 + S_n
\end{align}
$$

禁止自动编号
{align} 会自动编号，不需要可使用 {align*} 禁用。

左对齐与右对齐

要想公式左对齐或右对齐，就要用到 {flalign} 或 {flalign*} 了。它的效果是：首列左对齐，末列右对齐。

因此，要左对齐效果就把公式放在首列，要右对齐效果就把公式放在末列。

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$$
\begin{flalign*}
& 多行左对齐文本1 & \\
& 多行左对齐文本2 & \\
& 多行左对齐文本3 &
\end{flalign*}
$$
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$$
\begin{flalign*}
& & 多行右对齐文本1 \\ % 注意首列是空的
& & 多行右对齐文本2 \\
& & 多行右对齐文本3
\end{flalign*}
$$

变换相关

大小

可以通过命令来调整字符的大小，MathJax 提供了从小到大共十种命令：

\tiny、Tiny、\scriptsize、\small、\normalsize、\large、\Large、\LARGE、\huge、\Huge。

更多说明详见 MathJax 文档相关章节。

字体

更改字体语法为：\字体 {被转换字符}。（更多详见【附录·字体转换】章节）

公式中“不可识别”的运算符号或普通文本均是以斜体显示的，如果想让其转换为常规字体显示，需要分别使用 \operatorname 和 \text 命令。

\operatorname 用以定义一个新的运算符号，其语法为：\operatorname{运算符}{表达式} 或 \operatorname*{运算符}_{下标}^{上标}{表达式}。

\text 用以定义普通文本，通常是注释，其语法为：\text {文本}。

颜色

更改字符颜色语法为：\color{颜色}{字符}。

注意：文字颜色需要浏览器支持，否则将显示为黑色。对于较老的浏览器可能只支持有限的颜色名称，较新的浏览器支持 RGB 颜色。

高亮

语法：\bbox[背景色,边距*,border:width* type color。

  • 背景色：可以使用上节所述的颜色。
  • 边距：可使用绝对像素 px 或相对大小 em。
  • 边框宽度：同“边距”类似。
  • 边框类型：可用 solid、dotted、dashed 等。（与 CSS 中 border-style 值对应）
  • 边框颜色：与“背景色”类似。
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$$
\bbox[yellow, 5px, border:2px solid #ff0000]{
    e^x=\lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n \qquad (1)
}
$$

删除线

可使用 \cancel、\bcancel、\xcancel、\cancelto 等命令添加删除效果。（更多详见【附录·删除线】章节）

括号

普通的各种括号通常只显示为一行的大小，如果要显示为多行的括号，需要使用 \left 和 \right 命令——这使得括号会随内部公式大小调整大小高度。

\left 和 \right 必须配对使用，如果只想显示一半的括号，可以使用 \left. 或 \right. 来配对，但不显示。

需要注意的是，配对范围被限制在“公式行”中，如果一对括号被换行（\\）分隔在不同的行，那括号所在行需要使用 \left. 或 \right. 来“虚假配对”。

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$$
\begin{align*} 
S = & \left[ 1 + 2 + 3 + \cdots \right. \\ 
	& \cdots + \left. (n-2) + (n-1) + n \right]
\end{align*}
$$

更多括号符号详见【附录·括号】章节。

行标

公式末尾前使用 \tag {行标} 注明行标。

注：不要尝试给连分数“每行”标注行标，因为整体上看，连分数只有一行。

使用如下语法可以实现自动编号：

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\begin{equation}
    表达式
    \label{eq:公式名}
\end{equation}

自动编号的公式，可以在全文任意位置使用 \eqref{eq:公式名} 引用自动编号的公式。

注意：

  1. 仍可以使用 \tag 手动编号；
  2. 自动编号是个带圆括号的数字，引用显示的也是该“带圆括号的数字”。通常显示为超链接，指向引用的公式标注行；
  3. 从经验看，一些 Markdown 编辑器不完全支持自动编号，可能会存在一些显示问题。但在 hexo 中通过 MathJax 渲染的公式通常是支持自动编号语法的。

如果想不自动编号可以：

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\begin{equation*}
    表达式
\end{equation*}

如果对公式的对齐方式有要求，则需要使用：

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\begin{align}
    表达式
\end{align}

该语句是自动编号的，不想自动编号类似地可使用：

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\begin{align*}
    表达式
\end{align*}

如果只是有些行不需要编号，可以使用 \nonumber 或 \notag 移除当前行的行标。

另注意，自动编号是“全局”的，针对页面所有公式而言的。

复杂公式

矩阵

矩阵以 \begin{matrix} 开始 \end{matrix} 结束，以 \\ 分行，以 & 分隔元素。

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$$
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{matrix}
$$

矩阵边框

默认矩阵没有边框，要显示不同的边框，可以为 matrix 添加不同的前缀：

matrix pmatrix bmatrix Bmatrix vmatrix Vmatrix
$\begin{matrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ \end{matrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ \end{pmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ \end{bmatrix}$ $\begin{Bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ \end{Bmatrix}$ $\begin{vmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ \end{vmatrix}$ $\begin{Vmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ \end{Vmatrix}$

省略号

矩阵中常用的省略号有水平（\cdots）、垂直（\vdots）以及倾斜（\ddots）等几种。

行内矩阵

如果矩阵行列足够少，就有可能显示在行中，此时使用 \begin{smallmatrix} 和 \end{smallmatrix} 界定。

条件表达式

条件表达式以 \begin{cases} 开始 \end{cases} 结束，插入 & 来对齐内容，每行以 \\ 结束换行。

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$$
L_n = 
  \begin{cases}
    1 & (n = 0) \\[2ex]
    L_{n-1} + n & ( n > 0 )
  \end{cases}
$$

行高配置

默认情况下，条件表达式每行均显示为单倍行高，通常会显得比较紧凑，甚至有些较高的公式显示会存在问题。

此时，可以在换行符（\\）后指定行高。如上例中指定了 [2ex]，当然可以视需要指定任意数量的 [ex]。

关于单位 ex
ex 是一个相对的尺寸单位，指“x-height”，即字母 x 的高度。
注：在 CSS 中，字母 x 的下边缘即基线（baseline）所在的位置。

数组表示条件表达式

条件表达式除了使用 {cases} 外，也可以使用左对齐数组（{array}）来表示：

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$$
L_n = 
\left\{
  \begin{array}{l}
    1 & (n = 0)\\[2ex]
    L_{n-1} + n & ( n > 0 )
  \end{array}
\right.
$$

数组表示条件表达式的优点
概念上说，条件表达式对应的应该是 {cases}，但 {array} 可以实现相同的效果，并且更为灵活，可以实现“右括号”显示的条件表达式效果。

数组与表格

数组以表格形式展示，使用 \begin{array} 开始 \end{array} 结束。

\begin{array} 后紧跟花括号定义列及其文本对齐方式，可选对齐方式有居中（c）、左对齐（l）、右对齐（r）。一个有四列的表格可能这样开头：\begin{array}{lcrc}。

默认表格没有分割线。垂直分割线，在定义式中插入 |，如：{l|crc}。水平分割线在行间插入 \hline。

行以 \\ 结尾换行，列以 & 分隔。

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$$
\begin{array}{c|lcr}
	\hline
	 No. & \text{左对齐} & \text{居中对齐} & \text{右对齐} \\
    \hline
	 1 & \text{test one} & 121 & 100 \\
	 2 & \text{test two} & 12321 & 2 \\
	 3 & \text{test three} & 1 & 42 \\
\end{array}
$$

补充说明
数组也可以用于展示条件表达式或者方程组，这可以参考上一章节【条件表达式】。
以数组展示表格，比“普通”的 Markdown 表格更灵活，可以实现嵌套和单元格合并效果。

交换图表

开头使用 \require{AMScd} 来启用交换图表。

部分 Markdown 编辑器不需要，但为了兼容性，建议加上。

以 \begin{CD} 开头 \end{CD} 结束。

每行以 \\ 结尾换行，元素以 & 分隔。

连线箭头如下显示：

符号 说明 符号 说明
@<<< 左箭头 @>>> 右箭头
@AAA 上箭头 @VVV 下箭头
@= 水平双实线 @| 垂直双实线
@. 无箭头（占位）    

箭头符号可以添加注释文字。上表可以看到，代表箭头的符号都有 3 个相同的字符，在这些字符间插入的文字会作为箭头上的注释显示。注意，在第一、二个或第二、三个相同字符间插入文字，其显示的方位不同。

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$$
\require{AMScd}
\begin{CD}
    A @. B \\
    @VbVV \# @VVcV \\
    C @>>d> D \\
\end{CD}
$$

附录

希腊字母

命令 显示 命令 显示 命令 显示 命令 显示
\alpha $\alpha$ A $A$ \beta $\beta$ B $B$
\gamma $\gamma$ \Gamma $\Gamma$ \delta $\delta$ \Delta $\Delta$
\epsilon $\epsilon$ E $E$ \zeta $\zeta$ Z $Z$
\eta $\eta$ H $H$ \theta $\theta$ \Theta $\Theta$
\iota $\iota$ I $I$ \kappa $\kappa$ K $K$
\lambda $\lambda$ \Lambda $\Lambda$ \mu $\mu$ M $M$
\nu $\nu$ N $N$ \xi $\xi$ \Xi $\Xi$
o $o$ O $O$ \pi $\pi$ \Pi $\Pi$
\rho $\rho$ P $P$ \sigma $\sigma$ \Sigma $\Sigma$
\tau $\tau$ T $T$ \upsilon $\upsilon$ \Upsilon $\Upsilon$
\phi $\phi$ \Phi $\Phi$ \chi $\chi$ X $X$
\psi $\psi$ \Psi $\Psi$ \omega $\omega$ \Omega $\Omega$

部分字母加 var 前缀转变为变量专用形式：

小写 大写 变量 显示
\epsilon E \varepsilon $\epsilon \; E \; \varepsilon$
\theta \Theta \vartheta $\theta \; \Theta \; \vartheta$
\rho P \varrho $\rho \; P \; \varrho$
\sigma \Sigma \varsigma $\sigma \; \Sigma \; \varsigma$
\phi \Phi \varphi $\phi \; \Phi \; \varphi$

关系运算符

命令 显示 命令 显示 命令 显示 命令 显示
\pm $\pm$ \times $\times$ \div $\div$ \mid $\mid$
\cdot $\cdot$ \ast $\ast$ \oplus $\oplus$ \leq $\leq$
\geq $\geq$ \neq $\neq$ \approx $\approx$ \equiv $\equiv$

集合运算符

命令 显示 命令 显示 命令 显示 命令 显示
\emptyset $\emptyset$ \in $\in$ \notin $\notin$ \subset $\subset$
\supset $\supset$ \subseteq $\subseteq$ \supseteq $\supseteq$ \cap $\cap$
\cup $\cup$

对数运算符

命令 显示 命令 显示 命令 显示
\log $\log$ \lg $\lg$ \ln $\ln$

三角运算符

命令 显示 命令 显示 命令 显示
\angle A $\angle A$ \sin $\sin$ \cos $\cos$
\tan $\tan$ \cot $\cot$

逻辑运算符

命令 显示 命令 显示 命令 显示 命令 显示
\because $\because$ \therefore $\therefore$ \forall $\forall$ \exists $\exists$

箭头符号

命令 显示 命令 显示
\to $\to$ \implies $\implies$
\iff $\iff$ \impliedby $\impliedby$
\uparrow $\uparrow$ \Uparrow $\Uparrow$
\downarrow $\downarrow$ \Downarrow $\Downarrow$
\leftarrow $\leftarrow$ \Leftarrow $\Leftarrow$
\rightarrow $\rightarrow$ \Rightarrow $\Rightarrow$
\leftrightarrow $\leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\Leftrightarrow$
\longleftarrow $\longleftarrow$ \Longleftarrow $\Longleftarrow$
\longrightarrow $\longrightarrow$ \Longrightarrow $\Longrightarrow$
\longleftrightarrow $\longleftrightarrow$ \Longleftrightarrow $\Longleftrightarrow$

括号

命令 显示 命令 显示
\langle $\langle$ \rangle $\rangle$
\lceil $\lceil$ \rceil $\rceil$
\lfloor $\lfloor$ \rfloor $\rfloor$
\lbrace $\lbrace$ \rbrace $\rbrace$
\lvert $\lvert$ \rvert $\rvert$
\lVert $\lVert$ \rVert $\rVert$

微积分运算符

命令 显示 命令 显示 命令 显示
\int $\int$ \iint $\iint$ \prime $\prime$
\infty $\infty$ \nabla $\nabla$

环绕符号

命令 示例代码 示例显示
\overleftarrow \overleftarrow{a+b} $\overleftarrow{a+b}$
\overrightarrow \overrightarrow{a+b} $\overrightarrow{a+b}$
\overleftrightarrow \overleftrightarrow{a+b} $\overleftrightarrow{a+b}$
\underleftarrow \underleftarrow{a+b} $\underleftarrow{a+b}$
\underrightarrow \underrightarrow{a+b} $\underrightarrow{a+b}$
\underleftrightarrow \underleftrightarrow{a+b} $\underleftrightarrow{a+b}$
\overline \overline{a+b} $\overline{a+b}$
\underline \underline{a+b} $\underline{a+b}$
\overbrace \overbrace{a+b}^{sample} $\overbrace{a+b}^{sample}$
\underbrace \underbrace{a+b}_{sample} $\underbrace{a+b}_{sample}$
\fbox \fbox{a+b} $\fbox{a+b}$
\bar \bar{a} $\bar{a}$
\acute \acute{a} $\acute{a}$
\breve \breve{a} $\breve{a}$
\check \check{a} $\check{a}$
\grave \grave{a} $\grave{a}$
\dot 0.\dot{9} $0.\dot{9}$

字体转换

输入 说明 显示
\rm 罗马体 $\rm{SAMPLE}$
\it 意大利体 $\it{SAMPLE}$
\mit 数学斜体 $\mit{SAMPLE}$
\bf 粗体 $\bf{SAMPLE}$
\sf 等线体 $\sf{SAMPLE}$
\tt 打字机体 $\tt{SAMPLE}$

浏览器支持的颜色名

颜色名 显示 颜色名 显示
black $\color{black}{text}$ grey $\color{grey}{text}$
silver $\color{sliver}{text}$ white $\color{white}{text}$
maroon $\color{maroon}{text}$ red $\color{red}{text}$
yellow $\color{yellow}{text}$ lime $\color{lime}{text}$
olive $\color{olive}{text}$ green $\color{green}{text}$
teal $\color{teal}{text}$ auqa $\color{auqa}{text}$
blue $\color{blue}{text}$ navy $\color{navy}{text}$
purple $\color{purple}{text}$ fuchsia $\color{fuchsia}{text}$

删除线

命令 示例代码 示例显示
\cancel \cancel{a+b} $\cancel{a+b}$
\bcancel \bcancel{a+b} $\bcancel{a+b}$
\xcancel a+\xcancel{b} $a+\xcancel{b}$
\cancelto a+\cancelto{c}{b} $a+\cancelto{c}{b}$
\enclose{horizontalstrike} \enclose{horizontalstrike}{a+b} $\enclose{horizontalstrike}{a+b}$
\enclose{verticalstrike} \enclose{verticalstrike}{\frac ab} $\enclose{verticalstrike}{\frac ab}$
\enclose{updiagonalstrike} \enclose{updiagonalstrike}{a+b} $\enclose{updiagonalstrike}{a+b}$
\enclose{downdiagonalstrike} \enclose{downdiagonalstrike}{a+b} $\enclose{downdiagonalstrike}{a+b}$

注意：对于 \enclose 命令，可以组合使用删除线，比如：\enclose{horizontalstrike,updiagonalstrike}。

参考

MathJax basic tutorial and quick reference：基础教程（英文版），绝大部分命令都有介绍。

LaTeX/Advanced Mathematics：维基百科（英文版）关于 LaTex 高等数学公式的说明。

Detexify：一个搜索查询 LaTeX 符号的在线工具。可以通过鼠标书写来检索符号（使用 AI 识别，当然也可以浏览所有符号）。

完整 LaTeX 可用符号列表：超多，不便于查询。

精简 LaTeX 可用符号列表：大部分常用符号可查询。

MathJax 文档·TeX/LaTeX扩展列表：所有支持的命令列表。